1 Nikomi

Limes Superior Beispiel Essay

Der Limes superior und der Limes inferior ist der größte und der kleinste Häufungspunkt einer Folge. Diese dienen als partiellen Ersatz für den Grenzwert, wenn dieser nicht existiert.

Motivation[Bearbeiten]

Der Grenzwert einer Folge ist diejenige Zahl, gegen die eine Folge im Unendlichen strebt. In jeder Umgebung um den Grenzwert liegen fast alle Folgenglieder (blaue Punkte in der folgenden Grafik) und damit befinden sich nur endlich viele Folgenglieder außerhalb einer beliebigen Umgebung (rote Punkte):

Auch, wenn nicht jede Folge einen Grenzwert besitzt, kann man sowohl bei konvergenten als auch bei divergenten Folgen einiges über ihr Verhalten im Unendlichen aussagen. Im Kapitel „Häufungspunkt einer Folge“ haben wir bereits das Konzept des Häufungspunkts als Verallgemeinerung des Grenzwerts kennengelernt. Der Häufungspunkt ist eine Zahl, gegen die ein Teil der Folge strebt und um die sich deswegen die Folgenglieder „häufen“. Damit können sie benutzt werden, um das Verhalten einer Folge im Unendlichen zu beschreiben.

Durch Angabe des größten und des kleinsten Häufungspunkts können wir den Bereich einschränken, wo sich diese Häufungspunkte befinden. Der größte Häufungspunkt wird dabei Limes superior und der kleinste Limes inferior genannt. Dabei verwenden wir für den größten Häufungspunkt einer Folge den Ausdruck und für den kleinsten Häufungspunkt .

Das abgeschlossene Intervall zwischen dem kleinsten und größten Häufungspunkt ist eine Art „verallgemeinertes Grenzwertintervall“. Wir können nämlich zeigen, dass sich bei beschränkten Folgen in jeder Umgebung um dieses Intervall fast alle Folgenglieder befinden. Außerhalb einer solchen Umgebung befinden sich nur endlich viele Folgenglieder. In der folgenden Abbildung ist dies für eine Epsilon-Umgebung um dieses Intervall illustriert. Außerhalb dieses "Schlauchs" befinden sich nur endlich viele Folgenglieder (rote Punkte) und innerhalb fast alle (blaue Punkte):

Definition[Bearbeiten]

Wir wollen eine Folge genauer durch die Bestimmung des kleinsten und größten Häufungspunkts beschreiben. Dadurch schwächen wir den Grenzwertbegriff ab und gewinnen einen anderen Blick auf die Folge. Der größte Häufungspunkt wird Limes superior genannt und wird bei einer Folge mit bezeichnet. Der kleinste Häufungspunkt ist der Limes inferior und wird als beschrieben:

Definition 

Der Limes superior einer Folge ist bei nach oben beschränkten Folgen der größte Häufungspunkt dieser Folge und wird mit bezeichnet. Bei nach oben unbeschränkten Folgen schreiben wir .

Definition 

Der Limes inferior einer Folge ist bei nach unten beschränkten Folgen der kleinste Häufungspunkt dieser Folge und wird mit bezeichnet. Bei nach unten unbeschränkten Folgen setzen wir .

To-Do:

Nach unten beschränkte Folgen haben nicht unbedingt einen kleinsten Häufungspunkt. Die Definition ist nur für in beide Richtungen beschränkte Folgen korrekt. Ansonsten kann nicht nur , sondern auch gelten. Daher: Definition zunächst nur für beschränkte Folgen, und dann die Ausweitung auf beliebige Folgen als Motivation für die alternative Definition nehmen. Außerdem ist nicht von vornherein klar, warum die Menge aller Häufungspunkte ein Minimum bzw. Maximum und nicht nur ein Infimum bzw. Supremum hat.

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiel

Ist , so ist . Da die Folge konvergiert, hat sie nur den Häufungspunkt . Daher ist

Zusammenhang mit Grenzwert[Bearbeiten]

Eine Folge konvergiert genau dann, wenn der Limes superior und der Limes inferior existieren und übereinstimmen:

Satz (Limes superior/inferior und Konvergenz)

Eine Folge konvergiert genau dann, wenn gilt:

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